关于《基础30讲》的一个细节问题：

2025/3/15 0:12:17

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据说星标我们的考生都一战成硕了

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同学们好，有同学问到基础30讲320页的一个细致的问题，如下图（2）的②，要不要加上“x'(t)≠0, y'(t)≠0”

一般来说，在考研中的参数曲线，是默认满足正则条件的，所谓正则条件，就是图中所写的。如果参数曲线不满足正则条件会怎样呢？在图中我写了一个例子：若“（x'2(t)+y'2(t))1'2=0”，则曲线在原点处出现“尖点”，整体上不是光滑曲线了。在考研中，为求弧长，可以分段计算弧长，自然可以回避这个问题。但是如果从理论上说，正则条件是微分几何（很多考生读研时会选修这门课）中研究对象的基本条件，这涉及到曲线“弧长参数化”的定向问题，（事实上图中的例子，作为运动轨迹的曲线在原点处的瞬时速度为0，其运动轨迹过原点后变向），正则条件可以确保不出现定向混乱的情况，于是进一步可以用弧长参数化（单位匀速）作为“*好的”参数化——我们关注的是质点运动所留下的轨迹的几何性态，而不关心质点运动的具体过程，比如它是以什么速度走完这个轨迹的，这没关系，而单位匀速就是*好的选择。故，正则条件在高等数学中很难讲清楚，所以很多大学教材（比如同济的高等数学）干脆不提这个名字了，仅写了一个“x'(t)≠0, y'(t)≠0”。